Question

设，已知函数，．

（1）若是的零点，求不等式的解集：

（2）当时，，求的取值范围．

Answer

(1) ； (2)

【解析】

（1）利用可求得，将不等式化为；分别在和两种情况下解不等式可求得结果；（2）当时，，可将变为在上恒成立；分类讨论得到解析式，从而可得单调性；分别在、、三种情况下，利用构造不等式，解不等式求得结果.

（1）是的零点

由得：

当时，，即，解得：

当时，，即，解得：

的解集为：

（2）当时，，即：

时， 在上恒成立

①当时，恒成立 符合题意

②当时，

在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增

当时，，解得：

当时，，解集为

当时，

，解得：

综上所述，的取值范围为：