Question

已知函数，其导函数的两个零点为和.

（I）求曲线在点处的切线方程；

（II）求函数的单调区间；

（III）求函数在区间上的最值.

Answer

（I）；（II）增区间是，，减区间是；（III）最大值为，最小值为.

【解析】

试题对函数求导，由于导函数有两个零点，所以这两个零点值满足，解方程组求出m,n；利用导数的几何意义求切线方程，先求 f(1),求出切点，再求得出斜率，利用点斜式写出切线方程，求单调区间只需在定义域下解不等式和，求出增区间和减区间；求函数在闭区间上的最值，先研究函数在该区间的单调性、极值，求出区间两端点的函数值，比较后得出最值.

试题解析：

（1）∵，

∴，

由知，解得

从而，∴.

所以，∴，

曲线在点处的切线方程为，

即，

（2）由于，当变化时，，的变化情况如下表：

-3

0

+

0

-

0

+

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

故的单调增区间是，，单调递减区间是（-3,0）.

（3）由于，，，

所以函数在区间上的最大值为，最小值为-1.