Question

已知函数，.

（1）求函数的极值；

（2）若，其中为自然对数的底数，求证：函数有2个不同的零点；

（3）若对任意的，恒成立，求实数的最大值.

Answer

（1）极小值为；无极大值（2）证明过程见解析；（3）.

【解析】

（1）对函数求导，利用导数判断出函数的单调性，利用极值定义求出函数的极值；

（2）利用导数可求出函数的单调性和最大值，然后分类讨论在不同单调区间上函数存在零点，最后能证明出函数有2个不同的零点；

（3）构造新函数，利用导数，求出的值域，然后能求出实数的最大值.

（1）函数的定义域为，因为，所以，

当时，，所以函数单调递增；当时，，所以函数单调递减，因此是函数的极小值，故函数的极值为极小值，值为；无极大值

（2）函数的定义域为，因为所以，

因为，所以当时，，因此函数是递减函数，当时，，函数是递增函数，

所以函数的最大值为： ，

因为，所以，因此有，

因为，所以，因此当时，函数有唯一零点；

因为，所以，，故函数在时，必有唯一的零点，因此函数有2个不同的零点；

（3）设，，

，因为，所以函数在时单调递增，即

当时，即，时，，函数在时单调递增，因此有，即当时，恒成立；

当时，所以存在，使得，即当时，函数单调递减，所以此时，显然对于当时，不恒成立，综上所述，，所以实数的最大值为.