已知，函数，. （1）若在上单调递增，求正数的最大值；（2）若函数在内恰有一个...

已知，函数，.

（1）若在上单调递增，求正数的最大值；

（2）若函数在内恰有一个零点，求的取值范围.

（1）（2）【解析】（1）求出的单调递增区间，令，得，可知区间，即可求出正数的最大值；（2）令，当时，，可将问题转化为在的零点问题，分类讨论即可求出答案. 【解析】（1）由，得，. 因为在上单调递增，令，得时单调递增，所以解得，可得正数的最大值为. （2），设，当时，.它的图形如图所示. 又，则，，令，则函数在内恰有一个零点，可知在内最多一个零点. ①当0为的零点时，显然不成立； ②当为的零点时，由，得，把代入中，得，解得，，不符合题意. ③当零点在区间时，若，得，此时零点为1，即，由的图象可知不符合题意；若，即，设的两根分别为，，由，且抛物线的对称轴为，则两根同时为正，要使在内恰有一个零点，则一个根在内，另一个根在内，所以解得. 综上，的取值范围为.

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考点分析：

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