Question

如图，在直三棱柱中，，，是的中点，是的中点.

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）若直三棱柱的体积为，求四棱锥的体积.

Answer

（1）；（2）；

【解析】

（1）以为坐标原点，以，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系，分别求出异面直线与的方向向量，代入向量夹角公式，即可求出异面直线与所成角的大小；

（2）连接．由，由已知中，是的中点，面，我们根据等腰三角形“三线合一”的性质及线面垂直的性质，即可得到，，进而根据线面垂直的判定定理，得到面，故即为四棱锥的高，求出棱锥的底面面积，代入棱锥体积公式，即可得到答案．

（1）以为坐标原点，以，，为轴正方向建立空间直角坐标系．不妨设．

依题意，可得点的坐标，

于是，由，

则异面直线与所成角的大小为．

（2）连接．由，是的中点，得；

由面，面，得．

又，因此面，

由直三棱柱的体积为．可得．

所以，四棱锥的体积为．