Question

如图，圆锥的轴截面为等腰为底面圆周上一点．

（1）若的中点为，求证： 平面；

（2）如果，求此圆锥的体积；

（3）若二面角大小为，求.

Answer

（1）证明见解析（2）（3）60°

【解析】

（1）连接、，由三角形中位线定理可得，由圆周角定理我们可得，由圆锥的几何特征，可得，进而由线面垂直的判定定理，得到平面，则，结合及线面垂直的判定定理得到平面；

（2）若，易得，又由，我们求出圆锥的底面半径长及圆锥的高，代入圆锥体积公式，即可得到圆锥的体积；

（3）作于点，由面面垂直的判定定理可得平面，作于点，连，则为二面角的平面角，根据二面角的大小为，设，，进而可求出的大小

（1）如图：

连接、，因为为的中点，所以．

因为为圆的直径，所以，．

因为平面，所以，所以平面，．又，，所以平面．

（2），

，，又，

，．

（3）作于点，平面平面且平面平面

平面．再作于点，连，

为二面角的平面角

如图：

，．

设，，

，，，，

，．

，解得，