Question

如图，在四棱锥中，平面底面，其中底面为等腰梯形，，，，，为的中点.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）取中点，连结，推导出为平行四边形，从而，由此能证明平面．
（2）取中点，连结，取的中点，连结，推导出，，从而平面，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值．

【解析】
（1）取中点，连结，.

∵，是，的中点，

∴，且.

∵，，

∴，

∴，

∴，又，

∴，

∴为平行四边形，

∴.

又平面，且平面，

∴平面；

（2）取中点，连接，取的中点，连接，.设，

由（1）得，

∴为等边三角形，

∴，同理∴，

∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面.

以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

设平面的法向量，则，∴，

取，得，

又平面的法向量，

∴，

由图得二面角的平面角为钝角，

所以，二面角的余弦值为.