Question

已知椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，轴，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆交于、两点，线段的中点为，为坐标原点，且，求面积的最大值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）设椭圆的焦距为，可得出点在椭圆上，将这个点的坐标代入椭圆的方程可得出，结合可求出的值，从而可得出椭圆的标准方程；

（2）分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，在轴时，可得出，从而求出的面积；在直线斜率存在时，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合，得出，计算出与的高，可得出面积的表达式，然后可利用二次函数的基本性质求出面积的最大值.

（1）设椭圆的焦距为，由题知，点，，

则有，，又，，，

因此，椭圆的标准方程为；

（2）当轴时，位于轴上，且，

由可得，此时；

当不垂直轴时，设直线的方程为，与椭圆交于，，

由，得.

，，从而

已知，可得.

.

设到直线的距离为，则，

.

将代入化简得.

令，

则.

当且仅当时取等号，此时的面积最大，最大值为.

综上：的面积最大，最大值为.