Question

已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）是否存在实数，使函数在上单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为（2）存在,

【解析】

（1）求出导函数，由确定增区间，由确定减区间；

（2）求出导函数，假设存在，则在上恒成立，而不等式恒成立，又可用分离参数法转化为求函数的最值．

（1）当时，．

所以

令，则或，令，则，

所以的单调递增区间为和，单调递减区间为

（2）存在，满足题设，

因为函数

所以

要使函数在上单调递增，

即，，

令，，

则，

所以当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

所以是的极小值点，也是最小值点，且，

∴在上的最大值为．

所以存在，满足题设．