Question

已知直线与抛物线交于两点.

（1）求证：若直线过抛物线的焦点，则；

（2）写出（1）的逆命题，判断真假，并证明你的判断.

Answer

（1）证明见解析；（2）逆命题：若，则直线过抛物线的焦点；真命题.见解析

【解析】

（1）不妨设抛物线方程为 ，则焦点坐标为，

当直线的斜率不存在时，直线方程为 代入，验证.当直线的斜率存在时，设直线方程为 代入，得，再由韦达定理验证.

（2）逆命题：直线过抛物线的焦点. 是真命题.证明：当直线的斜率不存在时，设直线方程为 代入，解得 ，再由，求解.当直线的斜率存在时，设直线方程为 代入，得 ，由韦达定理得再由，求得 与 的关系现求解.

（1）设抛物线方程为 ，则焦点坐标为，

两个交点 ，

当直线的斜率不存在时，直线方程为，

代入，得 ，

所以.

当直线的斜率存在时，设直线方程为，

代入，

得 ，

由韦达定理得 .

所以若直线过抛物线的焦点时，则.

（2）逆命题：若，则直线过抛物线的焦点. 是真命题

证明：当直线的斜率不存在时，设直线方程为 代入得

因为，

所以，

解得 ，

所以直线过抛物线的焦点.

当直线的斜率存在时，设直线方程为，

代入，

得 ，

由韦达定理得 ，

又因为，

所以 ，

所以直线的方程，

所以直线过定点

即直线过抛物线的焦点.