Question

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为万元.该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：厘米）满足关系：.若不建隔热层，每年的能源消耗费用为万元.设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和.

（1）求的值及的表达式；

（2）隔热层修建多厚时，总费用最小，并求其最小值.

Answer

（1），（2）当隔热层修建厘米厚时，总费用达到最小，且最小为万元.

【解析】

（1）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x），若不建隔热层，每年能源消耗费用为万元．我们可得C（0）＝，得k＝36，进而得到．建造费用为C1（x）＝4x，则根据隔热层建造费用与16年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．

（2）由（1）中所求的f（x）的表达式，研究函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．

（1）由题意知：，代入中得，因此

，即

（2）由

令，则，考察函数在的单调性知：当时为减函数，当时为增函数，

此时

即当隔热层修建厘米厚时，总费用达到最小，且最小为万元.