Question

已知二次函数.

（1）若的定义域和值域均是,求实数的值;

（2）若在区间上是减函数,求在区间上的最小值和最大值;

（3）若在区间上有零点,求实数的取值范围.

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

（1）因为,即,在上单调递减,即可求得答案;

（2）,其对称轴为且图象开口向上,又因为在区间上是减函数,根据二次函数图象可得:,故(注:更接近对称轴为),即可求得答案;

（3）因为在区间上有零点,分别讨论和,即可求得答案.

（1）

可化简为:,

根据二次函数知识可得:其对称轴为

在上单调递减,

则有,即

解得:

（2）,其对称轴为且图象开口向上

又在区间上是减函数

根据二次函数图像可得:,

(注:更接近对称轴为)

又在上单调递减,在上单调递增：

（3）①当时,

,其对称轴为且图象开口向上

在区间是减函数

,

则在区间上无零点;

②当时,且在上单调递减,在上单调递增;

,

即

由上述知:.