Question

已知函数.

(1)证明:在区间上存在唯一零点；

(2)令，若时有最大值，求实数的取值范围.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）对求导得到，再对求导，得到，根据的正负，得到的单调性，再由定义域求出的正负，从而得到的单调性，由零点存在定理，进行证明；（2）对求导，得到，令，根据（1）的结论，可得在上有唯一零点，再按和进行分类，分别研究的单调性，从而得到有最大值时对的要求，得到答案.

(1)

易知在区间上恒成立，则在单调递减

所以＝0，即f(x)在单调递增，

又，则在区间必存在唯一零点

(2)

所以

令，则

由(1)知:则在单调递增

又，即在上有唯一零点

当时，由得，所以在区间单调递增;在区间单调递减；此时h(x)存在最大值h(0)，满足题意;

当时，由有两个不同零点x=0及，所以h(x)在区间(0，a)单调递减；在区间，单调递增;此时h(x)有极大值h(0)＝2a

由h(x)有最大值，可得;，解得，即

综上所述:当时，h(x)在有最大值