Question

已知椭圆的长轴长为，焦距为2，抛物线的准线经过C的左焦点F.

（1）求C与M的方程；

（2）直线l经过C的上顶点且l与M交于P，Q两点，直线FP，FQ与M分别交于点D（异于点P），E（异于点Q），证明:直线DE的斜率为定值.

Answer

（1）C：，M：（2）证明见解析

【解析】

（1）由题意可得，的值，运用，求得，可得椭圆的方程，由的准线经过点，求得，即可得解的方程；

（2）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，设，，运用韦达定理得之间的关系，再联立直线与抛物线的方程解得的坐标，同理可得出的坐标，代入两点间斜率计算公式即可得结果.

（1）由题意，得，，所以，，

所以，所以C的方程为，

所以，由于M的准线经过点F，

所以，所以，故M的方程为.

（2）证明:由题意知，l的斜率存在，故设直线l的方程为，

由，得.

设，，

则，即且，，.

又直线FP的方程为，

由，得，

所以，所以，从而D的坐标为.

同理可得E的坐标为，

所以为定值.