Question

如图，四棱锥的底面是正方形，底面，，点分别在棱上，且平面.

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

（3）求二面角的余弦值

Answer

（1）见解析（2）（3）

【解析】

试题（1）先根据线面垂直性质定理得，再由，以及线面垂直判定定理得平面，即得，由平面，有，再由线面垂直判定定理得平面，即得；（2）因为平面，所以为在平面内的射影，延长交于点，则为（即）与平面所成的角，解直角三角形得线面角正弦值.（3）以空间向量求角二面角，先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解平面法向量，由向量数量积得两法向量夹角余弦值，最后根据二面角与两法向量关系得结果

试题解析：（1）因为四边形是正方形，所以，

又因为底面，所以，故平面，

又平面，则，

而平面，有，则平面，

故.

（2）如图，延长交于点，因为平面，

所以为在平面内的射影，故为（即）与平面所成的角，

又因为，，则有，

在中，，

故与平面所成角的正弦值为.

（3）分别以为轴建立空间直角坐标系，，

所以，，设平面的法向量，

那么，

，

令，则，由（1）知，平面的法向量，

设所求二面角的大小为，且为锐角，所以，

所以二面角的余弦值为.