Question

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆与直线相切.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点，为动直线与椭圆的两个交点，问：在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）定点为，.

【解析】

试题分析:（1）求得圆的方程，由直线和圆相切的条件:，可得的值，再由离心率公式，可得的值，结合的关系，可得，由此能求出椭圆的方程；（2）由直线和椭圆方程，得，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出在轴上存在点，使为定值，定点,则可求解.

试题解析：（1）由得，即①

又以原点为圆心，椭圆的长轴长为半径的圆为，

且与直线相切，

所以代入①得，

所以，所以椭圆的标准方程为.

（2）由得，

设，，所以，，

根据题意，假设轴上存在定点，

使得为定值，

则

要使上式为定值，即与无关，，

得.

此时，，所以在轴上存在定点使得为定值，且定值为.