Question

设函数．

(1)若函数在上单调递增，求的取值范围；

(2)当时，设函数的最小值为，求证：；

(3)求证：对任意的正整数，都有．

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

(1) 题意知f′(x)＝ex－a≥0对x∈R恒成立,ex＞0进而得到结果；（2）由a＞0，及f′(x)＝ex－a，得到函数的单调性，故得到函数f(x)的最小值为g(a)＝f(lna)＝elna－alna－1＝a－alna－1，再对这个函数求导得到函数的单调性和最值，进而得到结果；（3）由前一问得到(x＋1)n＋1＜(ex)n＋1＝e(n＋1)x令，得到，再赋值：依次代入上述不等式，做和,放缩,利用等比数列求和公式可得到结果.

(1)由题意知f′(x)＝ex－a≥0对x∈R恒成立，且ex＞0，

故a的取值范围为(－∞，0]．

(2)证明：由a＞0，及f′(x)＝ex－a，

可得函数f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，

故函数f(x)的最小值为g(a)＝f(lna)＝elna－alna－1＝a－alna－1，则g′(a)＝－lna，

故当a∈(0，1)时，g′(a)＞0，

当a∈(1，＋∞)时，g′(a)＜0，

从而可知g(a)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且g(1)＝0，

故g(a)≤0．

(3)证明：由(2)可知，当a＝1时，

总有f(x)＝ex－x－1≥0，当且仅当x＝0时等号成立．即当x＋1＞0且x≠0时，总有ex＞x＋1．于是，可得(x＋1)n＋1＜(ex)n＋1＝e(n＋1)x．

令x＋1＝，即x＝－，可得；

令x＋1＝，即x＝－，可得；

令x＋1＝，即x＝－，可得；

……

令x＋1＝，即x＝－，可得．

累加可得

．

故对任意的正整数n，都有．