Question

已知函数，.

（1）若，求的最大值；

（2）当时，求证：.

Answer

(1) (2)见解析

【解析】

（1）给定区间求最值需先求导判出在相应区间上的单调性；

（2）构造新函数，运用放缩进行处理．先证，又由，，所以．

（1）【解析】
当时，，

由，得，所以时，；时，，

因此的单调递减区间为，单调递增区间为，

的最大值为 .

（2）证明：先证，

令，

则 ，

由，与的图象易知，存在，使得，

故时，；时，，

所以的单调递减区间为，单调递增区间为，

所以的最大值为，

而，.

又由，，所以，

当且仅当，取“=”成立，即.

点晴：导数是做题的工具，在解决问题时，一般首先要对题干的转化，带着目标做下手，一般都是转化成最值的问题，然后最值的问题都是利用单调性去解决