Question

如图所示,直角梯形中,,,,四边形为矩形,.

（1）求证:平面平面;

（2）在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为,若存在,求出线段的长,若不存在,请说明理由.

Answer

（1）见解析；（2）存在，长

【解析】

（1）先证面,又因为面,所以平面平面.

（2）根据题意建立空间直角坐标系. 列出各点的坐标表示,设,则可得出

向量,求出平面的法向量为,利用直线与平面所成角的正弦公式列方程求出或,从而求出线段的长.

解:（1）证明:因为四边形为矩形,

∴.

∵∴

∴∴面

∴面

又∵面

∴平面平面

（2）取为原点,所在直线为轴,所在直线为轴建立空间直角坐标系.

如图所示:则,,,,,

设,;

∴,,

设平面的法向量为,

∴,不防设.

∴,

化简得,解得或;

当时,,∴;

当时,,∴;

综上存在这样的点,线段的长.