Question

已知函数．

（1）讨论的单调性并指出相应单调区间；

（2）若，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）答案见解析（2）

【解析】

（1）先对函数进行求导得，对分成和两种情况讨论，从而得到相应的单调区间；

（2）对函数求导得，从而有，，，三个方程中利用得到.将不等式的左边转化成关于的函数，再构造新函数利用导数研究函数的最小值，从而得到的取值范围.

【解析】
（1）由，，

则，

当时，则，故在上单调递减；

当时，令，

所以在上单调递减，在上单调递增．

综上所述：当时，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增．

（2）∵，

,

由得，

∴，，∴

∵∴解得.

∴.

设，

则,

∴在上单调递减；

当时，.

∴，即所求的取值范围为.