Question

已知函数，其图象的一个对称中心是，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.

（1）求函数的解析式；

（2）若对任意，当时，都有，求实数的最大值；

（3）若对任意实数在上与直线的交点个数不少于6个且不多于10个，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根据正弦函数的对称性，可得函数的解析式，再由函数图象的平移变换法则，可得函数的解析式；

（2）将不等式进行转化，得到函数在[0，t]上为增函数，结合函数的单调性进行求解即可；

（3）求出的解析式，结合交点个数转化为周期关系进行求解即可．

（1）因为函数，其图象的一个对称中心是，所以有，的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.所以

；

（2）由，构造新函数为，由题意可知：任意，当时，都有，说明函数在上是单调递增函数，而的单调递增区间为：

，而，

所以单调递增区间为：，因此实数的最大值为：；

（3），其最小正周期，

而区间的长度为，

直线的交点个数不少于6个且不多于10个,则，且，

解得：.