Question

直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）中，D为中点，F为线段的中点.

（1）若M为中点，求证：面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）证明取中点，连结，，取中点，连结，，说明四边形为平行四边形，然后证明四边形为平行四边形，推出，即可证明面；

（2）在平面上过作垂直于的直线为轴，分别以，为，轴，建系，求出平面的法向量，平面的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值即可．

（1）证明：取中点N，连接，，取中点E，连结，，

，，∴四边形为平行四边形，

，，，，，

又，

∴四边形为平行四边形，，

在面，面，面；

（2）在平面上过作垂直于的直线为x轴，分别以，为y，z轴建系，

，，，，

设平面的法向量，，

取，，，.

平面的一个法向量，

设二面角的大小为，

.