Question

已知函数.

（1）当时，证明：对任意的，都有.

（2）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）当时，设，只要证明最小值大于等于0即可．

（2）若对任意的，，恒成立，，，在此基础上分析区间，增减性，进而得出最小值，让其大于等于1，即可求出答案．

（1）当时，设，

，

设，

（），

所以在上是增函数，

，

所以在上是增函数，

即，

对任意的，都有.

（2）若对任意的，恒成立，，

，（其中增函数）

①当时，，，

在上，是增函数，符合题意，

②当时，存在唯一，，此时，

在上，；在，，

，

设，，在上是增函数，

，

所以，

在上，是增函数，

解得，

综合①②，.