Question

如图，在三棱锥中，，二面角的大小为120°，点在棱上，且，点为的重心.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连接，并延长与相交于点，连接，可证得，从而得证；

（2）过点在中作，与相交于点，可得，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求平面的法向量和平面的一个法向量为，再求得，进而利用同角三角函数关系即可得解.

（1）证明：连接，并延长与相交于点，连接，

因为点为的重心，所以，

在中，有，

所以，

则平面，平面，

所以平面；

（2）【解析】
过点在中作，与相交于点，因为，，则为二面角的平面角，则。

以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，，，则，，，，

所以

记平面的法向量，

则

令，得到平面的一个法向量，

设平面的一个法向量为，

则，

令，得到平面的一个法向量，

，

设二面角的平面角为，则，

即二面角的正弦值为.