Question

已知函数．

（1）设函数，讨论的单调性；

（2）当时，若存在，，，使，证明：．

Answer

（1）分类讨论，详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）对函数求导后，分和两种情况，考虑函数的单调性；

（2）不妨设，由，得

，

所以．

构造函数，利用函数的单调性，可得，接着再转化一下，可证.

（1）【解析】
的定义域为，

．

①当时，恒成立，所以在上单调递减．

②当时，令，得，则单调递减；

令，得，则单调递增．

综上，当时，在单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减．

（2）证明：不妨设，由，得

，

所以．

设，则，故在上单调递增．

因为，所以，所以，

即，故，

所以，

于是，

则．