Question

如图，在三棱柱中，底面ABC，，，D，E分别是，的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）线段上是否存在点F，使平面？若存在，求的值：若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在点F，使平面，而过．

【解析】

（Ⅰ）建立空间直角坐标系，用向量证明垂直；

（Ⅱ）求出两平面的法向量，由法向量夹角得二面角；

（Ⅲ）假设存在，设，即，由此求出，由与平面的法向量垂直可得．

（Ⅰ）由于底面ABC，，以为轴建立空间直角坐标系，

则，，

，，所以，，即；

（Ⅱ）由（Ⅰ），设平面的一个法向量为，

则，以，则，，

设平面一个法向量是，，

则，取，则，

，．

所以二面角的大小为；

（Ⅲ）假设存在点F，使平面，设，即，，又，所以，

由，得．

所以存在点F，使平面，而过．