Question

已知椭圆的左焦点为，右焦点为，设M，N是椭圆C上位于x轴上方的两动点，且直线与直线平行，与交于点D．

（Ⅰ）求和的坐标；

（Ⅱ）求的最小值；

（Ⅲ）求证：是定值．

Answer

（Ⅰ），；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析．

【解析】

（Ⅰ）由椭圆方程得后可得，即得焦点坐标；

（Ⅱ）设直线与椭圆的另一焦点是，由椭圆的对称性得，设，设直线方程是，与椭圆方程联立消元后应用韦达定理可得，用弦长公式求得，计算并代入得关于的函数，可得最小值．

（Ⅲ）由（Ⅱ）得，再由，由平行线性质求得和，相加即证．

（Ⅰ）由题意，，所以，焦点为，；

（Ⅱ）设直线与椭圆的另一焦点是，因为，所以由椭圆的对称性得，

设，设直线方程是，

由得，，，

，

所以当时，取得最小值为．

（Ⅲ）因为，且在椭圆上，

所以

同理，

所以，

由（Ⅱ），

，

所以为定值．