Question

如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．

(1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；

(2)求证：无论点E在BC边的何处，都有；

(3)当为何值时,与平面所成角的大小为45°.

Answer

(1)EF//面PAC (2)见解析(3)

【解析】

试题⑴当E是BC中点时，因F是PB的中点，所以EF为的中位线，

故EF//PC，又因面PAC，面PAC，所以EF//面PAC

⑵证明：因PA⊥底面ABCD，所以DA⊥PA，又DA⊥AB，所以DA⊥面PAB，

又DA//CB，所以CB⊥面PAB，而面PAB，所以，

又在等腰三角形PAB中，中线AF⊥PB，PBCB=B，所以AF⊥面PBC.

而PE面PBC，所以无论点E在BC上何处，都有

⑶以A为原点，分别以AD、AB、AP为x、y、z轴建立坐标系，设，

则，，，设面PDE的法向量为，

由，得，取，又，

则由，得，解得.

故当时，PA与面PDE成角