Question

已知数列满足，.

（1）求，，，并由此猜想出的一个通项公式（不需证明）；

（2）用数学归纳法证明：当时，.

Answer

（1），，，（2）证明见解析

【解析】

（1）由，，，2，，可求得，继而可求得，，由此猜想的一个通项公式：（2）证明，利用数学归纳法证明：易证①当时，不等式成立；②假设当时结论成立，即，去推证时，结论也成立即可.

（1）由，得；

由，得；

由，得；

由此猜想的一个通项公式：.

（2）先证明：

下面用数学归纳法证明

当时，，成立．

假设当时成立．即，

那么当时，

即当时也成立．

所以．

再证明当时，，

①当时，，不等式成立，

②假设当时结论成立，即，

当时，

，

而，

所以

即时，结论也成立．

由①和②可知，当时，.