Question

如图所示，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，点是线段的中点.

（1）求证：平面；

（2）求锐二面角的大小.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）连接交于点，连接，，根据中位线可证明，即可求证（2）作于点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用法向量的二面角公式计算即可求解.

（1）连接交于点，连接，.

∵三棱柱是正三棱柱，所以四边形是矩形，所以为的中点.

∵是的中点，∴是三角形的中位线，所以.

∵平面，平面，∴平面.

（2）作于点，

∴平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则，，，.

∴，，.

设是平面的法向量，

所以，即.

令，则，，

∴是平面的一个法向量.

由题意可知是平面的一个法向量，

∴，

∴二面角的大小为.