Question

为庆祝某校一百周年校庆，展示该校一百年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为2百米，圆心角为的扇形展示区的平面示意图.点是半径上一点，点是圆弧上一点，且.为了实现“以展养展”，现决定：在线段、线段及圆弧三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段处每百米为元，线段及圆弧处每百米均为元.设弧度，广告位出租的总收入为元.

（1）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；

（2）试问为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值.

Answer

（1），.（2）， .

【解析】

（1）利用正弦定理求出、，进而建立关于的函数解析式（2）利用导数研究函数的单调性，借助极值求出函数的最值．

（1）因为，

所以在中，，，，百米．

由正弦定理，得，，

得，．

又圆弧长为，

所以

．

（2）记，

则，

令，得．

当变化时，，的变化如下表：

0

递增

极大值

递减

所以在处取得极大值，这个极大值就是最大值，

即．

故当时，广告位出租的总收入最大，最大值为元．