Question

一湖中有不在同一直线的三个小岛A、B、C，前期为开发旅游资源在A、B、C三岛之间已经建有索道供游客观赏，经测量可知AB两岛之间距离为3公里，BC两岛之间距离为5公里，AC两岛之间距离为7公里，现调查后发现，游客对在同一圆周上三岛A、B、C且位于（优弧）一片的风景更加喜欢，但由于环保、安全等其他原因，没办法尽可能一次游览更大面积的湖面风光，现决定在上选择一个点D建立索道供游客游览，经研究论证为使得游览面积最大，只需使得△ADC面积最大即可.则当△ADC面积最大时建立索道AD的长为______公里.（注：索道两端之间的长度视为线段）

Answer

【解析】

根据题意画出草图，根据余弦定理求出的值，设点到的距离为，可得，分析可知取最大时，取最大值，然后再对为中点和不是中点两种情况分析，可得的最大值为，然后再根据圆的有关性质和正弦定理，即可求出结果．

根据题意可作出及其外接圆，连接，交于点，连接，如下图：

在中，由余弦定理

,

由为的内角，可知，所以.

设的半径为，点到的距离为，点到的距离为，则,

故取最大时，取最大值.

①当为中点时，由垂径定理知，即，

此时，故；

②当不是中点时，不与垂直，设此时与所成角为，则，故；

由垂线段最短知，此时;

综上，当为中点时，到的距离最大，最大值为；

由圆周角定理可知，,

由垂径定理知，此时点为优弧的中点，故，

则，

在中，由正弦定理得

所以.

所以当△ADC面积最大时建立索道AD的长为公里.

故答案为：．