Question

已知在直角三角形ABC中，，（如右图所示）

（Ⅰ）若以AC为轴，直角三角形ABC旋转一周，试说明所得几何体的结构特征并求所得几何体的表面积.

（Ⅱ）一只蚂蚁在问题（Ⅰ）形成的几何体上从点B绕着几何体的侧面爬行一周回到点B，求蚂蚁爬行的最短距离.

Answer

（Ⅰ）几何体为以为半径，高的圆锥，

（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）若以为轴，直角三角形旋转一周，形成的几何体为以为半径，高的圆锥，由圆锥的表面积公式，即可求出结果．

（Ⅱ）利用侧面展开图，要使蚂蚁爬行的最短距离，则沿点B的母线把圆锥侧面展开为平面图形（如图）最短距离就是点B到点的距离，代入数值，即可求出结果．

【解析】
（Ⅰ）在直角三角形ABC中，由

即，得，若以为轴旋转一周，

形成的几何体为以为半径，高的圆锥，

则，其表面积为

.

（Ⅱ）由问题（Ⅰ）的圆锥，要使蚂蚁爬行的最短距离，则沿点B的母线把圆锥侧面展开为平面图形（如图）最短距离就是点B到点的距离，

，

在中，由余弦定理得：