Question

三棱柱中，平面，为正三角形，为中点，为线段的中点，为中点．

（1）求证：面；

（2）求证：．

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）取中点，连结，，取中点，连结，，由已知可证，又，可证四边形为平行四边形，可证，利用线面平行的判定定理即可证明面．

（2）设中点为，连接，，可证，，可证，可证，又正三角形中，为中点，可证，利用线面垂直的判定定理可证平面，根据线面垂直的性质定理可证．

证明：（1）取中点，连结，，

取中点，连结，，

，，

四边形为平行四边形，

，，

，，

又，

四边形为平行四边形，

，

面，面，

面．

（2）设中点为，连接，，

三棱柱中，，为中点，

四边形为梯形，

又为中点，为线段的中点，

，

三棱柱中，，

，

平面，

三棱柱中，平面，且平面，

①

正三角形中，为中点，则②，

由①②及，得平面，

．