Question

已知函数有两个不同的极值点，．

（1）求实数的取值范围；

（2）证明：．

Answer

（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）直接对求导，研究其极值点个数即可；

（2）双变量问题，先想办法化成一个变量，转化为一元函数求值域问题，只需将即可．

【解析】
（1），，

若，则恒成立，则单调递增，则至多有一个极值点，故舍去；

若，由得；由得，在递减，递增

所以，从而，，，，

又，设，所以在递增，

（e），，，由得，或，

由得：，

所以在递增，，递减，，递增，时函数有两个不同的极值点，，故实数的取值范围为．

（2），，

设，则，，

令，，则，，

从而，在递增，所以时，（1），

即时，，即，

故．