Question

如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角.

（1）当多大时，船能垂直到达对岸？

（2）当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？

Answer

（1）；（2）当时，船的航行时间最短，而当船垂直到达对岸，所需时间并不是最短.

【解析】

（1）垂直时根据和向量与分向量的位置关系，利用数量积公式求解的值；（2）根据 “时间等于垂直到达对岸时相应的路程与速度的比值”以及三角函数有界性确定时间最小值，然后再进行判断.

（1）船垂直到达对岸，即与垂直，即.

所以，即.

所以，解得.

（2）设船航行到对岸所需的时间为，

则.

故当时，船的航行时间最短，而当船垂直到达对岸，所需时间并不是最短.