Question

设函数，函数，，其中为常数，且，令函数为函数和的积函数.

（1）求函数的表达式，并求其定义域；

（2）当时，求函数的值域

（3）是否存在自然数，使得函数的值域恰好为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，试说明理由.

Answer

（1）定义域为；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）根据题意得的，再计算定义域得到答案.

（2）设，化简得到，根据函数单调性得到值域.

（3）计算当时，且时，根据单调性得到不等式，计算得到答案.

（1），定义域为

（2），设

根据双勾函数性质知函数在单调递增，故，故值域为

（3）存在；根据（2）知，，

根据双勾函数性质知函数在单调递增，上单调递减.

当时，且时，函数的值域恰好为

故，构成的集合为