Question

已知函数.

（1）判断函数的奇偶性并证明；

（2）用定义证明函数在区间上是单调递增函数：

（3）求函数在区间上的值域.

Answer

(1) 奇函数 （2）证明见解析 （3）

【解析】

（1）直接由函数奇偶性的定义判断的关系，可得出答案.
（2）由定义证明函数单调性的方法任取，且，作差化简判断符合，得出单调性结论.
(3)根据（2）的解题过程判断出函数在上的单调区间，从而根据单调性得出函数的值域.

(1)由

所以有

所以为奇函数.

(2) 任取，且.

则

由，

则，所以，

所以

即，所以

所以函数在区间上是单调递增函数.

(3)由（2）有在上是单调递增函数.

在（2）的证明过程中，若，则

则

所以，所以

所以函数在区间上是单调递减函数.

所以函数在区间上是单调递减函数，在上是单调递增函数.

又.

所以函数在区间上的值域为.