Question

已知函数．

（1）当时，求该函数的值域；

（2）求不等式的解集；

（3）若对于恒成立，求的取值范围．

Answer

（1）（2）或（3）

【解析】

（1）利用换元法并结合二次函数的性质即可求出函数值域；（2）利用换元法并结合一元二次不等式的性质，即可求出不等式的解集；（3）将分离于不等式的一端，对另一端求它的最值，进而可以求出的取值范围．

（1）令，，则，

函数转化为，，

则二次函数，在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，取到最小值为，当时，取到最大值为5，

故当时，函数的值域为.

（2）由题得，令，

则，即,

解得或，

当时，即，解得，

当时，即，解得，

故不等式的解集为或.

（3）由于对于上恒成立，

令，，则

即在上恒成立，

所以在上恒成立，

因为函数在上单调递增，也在上单调递增，

所以函数在上单调递增，它的最大值为，

故时，对于恒成立．