Question

如图，在四棱锥中，底面是菱形，底面.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的余弦值.

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由底面推出，由菱形的性质推出，即可推出平面从而得到；（Ⅱ）根据已知条件先求出AB，再利用菱形的对角线垂直求出AC，由求出PC，即可求得余弦值.

（Ⅰ）证明：连接，

∵底面，底面,∴.

∵四边形是菱形，∴.

又∵，平面，平面，

∴平面，

∴.

（Ⅱ）设直线AC与BD交于点O，∵底面，

∴直线与平面所成角的是.

设“”，由，可得，

∵四边形是菱形，

在中，，则，

于是，

∴

∴直线与平面所成角的余弦值是.