Question

如图，在四棱锥中，底面是菱形，底面.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由底面推出，由菱形的性质推出，即可推出平面从而得到；（Ⅱ）作，交的延长线于，连接，则二面角的平面角是，由已知条件求出AD，进而求出AE、PD，即可求得.

（Ⅰ）证明：连接，

∵底面，底面,∴.

∵四边形是菱形，∴.

又∵，平面，平面，

∴平面，

∴.

（Ⅱ）作，交的延长线于，连接.

由于，于是平面，

平面，，

所以二面角的平面角是.

设“”，

且底面是菱形，

，

，，

∴.