Question

已知函数，．

（1）求实数的取值范围，使在区间上单调．

（2）若恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）；

（2）.

【解析】

由题意可得，区间在二次函数对称轴的左侧或右侧，从而得或，由此求得实数的取值范围；（2）分区间在二次函数对称轴的左侧、右侧以及对称轴在区间中间三种情况，根据二次函数在区间上的单调性分别求出，令即可求出实数的取值范围.

【解析】
（1）由二次函数的对称轴，要使在区间上是单调函数，

应有或，

故实数的取值范围为.

（2）因为恒成立，即恒成立.

①当时，即，在上是增函数，

,

解得，无解；

②当时，即，

，

解得或；

③当时，即

因为恒成立，在上是减函数，

，解得，无解.

综上所述，实数的取值范围为.