Question

如图，是半圆的直径，是半圆上除点外的一个动点，垂直于所在的平面，垂足为，，且，.

（1）证明：平面平面；

（2）当为半圆弧的中点时，求二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）先证明平面，再证明后即可得平面，即可得证；

（2）建立空间坐标系后分别求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，求出后即可得解.

（1）证明：因为是半圆的直径，所.

因为垂直于所在的平面，，

所以，所以平面.

因为，且，

所以四边形为平行四边形.

所以，所以平面，

因为平面，所以平面平面.

（2）由题意，，、、两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系.

则，，，，所以，，，.

设平面的一个法向量为，

则即

令，则.

设平面的一个法向量为，

则即

则，

则.

因为二面角是钝角，所以二面角的余弦值为.