Question

已知数列的前n项和为，满足，数列满足，其中，且，．

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，数列的前n项和为，证明：．

Answer

（1），；（2）证明见解析.

【解析】

（1）利用递推关系，多递推一项再相减，可得数列是以为首项，公比为2的等比数列；又由，知数列是等差数列；分别代入等差与等比数列的通项公式，即可得答案.

（2）由（1）知，得用错位相减法求得，即可证得结论.

（1）由①

知，又当时，②，

则由①-②得，

则，，

故数列是以为首项，公比为2的等比数列，则．

又由，知数列是等差数列，

又，，

则数列的公差，故．

（2）证明：由（1）知，

则有③

④

由③–④得

则，

故，得证．