Question

已知函数（为常数，）．

（1）当时，判断函数的单调性；

（2）若函数有两个极值点，，且求实数的取值范围．

Answer

（1）函数在R上单调递增；（2）．

【解析】

（1）对函数求导，再由得恒成立，即可得答案；

（2）由题意得，为方程的两根，从而得到，，之间的关系，再将表示成关于的函数，利用构造函数法研究函的值域，即可得答案.

（1）由，

得，

当时，，恒成立，

，所以函数在R上单调递增．

（2）若函数有两个极值点，，

则，是关于x的方程的两个不等实根，

则由，得或①，

又由韦达定理知且，

则有

又由题知，令函数，．

则对任意成立，

函数在上单调递增，

所以，即得②

∴a的取值范围是．