Question

某学校为了解该校高三年级学生数学科学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了名学生的成绩作为样本进行统计，该校全体学生的成绩均在，按照，，，，，，，的分组作出频率分布直方图如图（1）所示，样本中分数在内的所有数据的茎叶图如图（2）所示．根据上级统计划出预录分数线，有下列分数与可能被录取院校层次对照表为表（3）．

分数
可能被录取院校层次	专科	本科	重本

图（3）

（1）求和频率分布直方图中的，的值；

（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取3人，求至少有一人是可能录取为重本层次院校的概率；

（3）在选取的样本中，从可能录取为重本和专科两个层次的学生中随机抽取3名学生进行调研，用表示所抽取的3名学生中为重本的人数，求随机变量的分布列和数学期望．

Answer

（1），，；（2） （3）分布列见解析，

【解析】

（1）结合茎叶图中分数在70~80的人数以及频率分布直方图中对应的频率，计算得到n，x，y的值；

（2）先利用古典概型计算从该校高三年级学生中任取1人为重本的概率，该校高三年级学生中任取3人，至少有一人能被重点大学录取的事件服从二项分布，利用公式计算即得解；

（3）随机变量服从超几何分布，利用超几何分布的概率公式计算即得解.

【解析】
（1）由题意可知，样本容量，

解得，．

（2）成绩能被重点大学录取的人数为人，

抽取的50人中成绩能被重点大学录取的频率是，

故从该校高三年级学生中任取1人为重本的概率为．

记该校高三年级学生中任取3人，至少有一人能被重点大学录取的事件为；

则．

（3）成绩能被重点大学录取的人数为15人，成绩能被专科学校录取的人数人，故随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．

所以，；；

；；

故随机变量的分布列为

0

1

2

3

随机变量的数学期望．