Question

建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为，防洪堤高记为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（）要最小．

（1）用表示、；

（2）将表示成的函数，如限制在范围内，最小为多少米？并说明理由．

Answer

(1)，；(2)，的最小值为.

【解析】

（1）在直角三角形中，利用正弦函数即可求得，再利用梯形的面积，求得.

（2）利用（1）中的结论，即可得到函数的解析式，再根据对勾函数的单调性即可求得函数的最小值.

（1）在直角三角形中，由，

可得，

设，故

由梯形的面积可得：

即

解得

综上所述：，.

（2）因为

故可得

下证：函数在是单调递增函数.

任取

则

因为，故；又，故，则

故，即，

故函数在区间上单调递增.

因为，函数单调递增，

故.