Question

已知函数

（1）若函数，求证：在上是单调递增；

（2）若函数有三个不同的零点，求的取值范围．

Answer

(1)证明见详解；(2)

【解析】

（1）写出的函数解析式，再利用单调性的定义进行证明即可；

（2）将函数零点问题，转化为图像交点的问题，数形结合解决问题.

（1）当，，.

设

则

因为，故；又，则；

故，即

即证当时，单调递增.

（2）因为当时，，即一定是的零点，

故函数有三个不同的零点

等价于当时，有两个不同的零点，

故还等价于在上有两个零点，

又

也等价于，与函数的图像有两个交点，

下面画出函数的图像如下所示：

结合上述图像，容易知，当时，直线与函数有两个交点，

综上所述：.