Question

如图，在中，的对边分别是，，为的平分线，.

（1）若，求；

（2）求面积的最小值.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）根据已知条件，结合，利用三角形面积公式，表示出面积，从而得到，在、中，利用余弦定理表示出和，然后代入已知条件，解得的值；（2）设，所以，在中，由余弦定理可知，得到关于的方程，消去得到关于的方程，得到，分类讨论，分别研究面积，从而得到其最小值.

（1）因为，，

所以，

所以

所以.

在、中，

由余弦定理，得，

即，

解得.

（2）设，则由（1）可知，所以，

在中，由余弦定理可知

所以，，

消去，得，

化简，得.

当时，为等边三角形，此时;

当时，由基本不等式可得，得到，即

当时取等号，此时.

综上可得，面积的最小值为.