Question

已知函数．

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）若函数在区间上有极值，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）代入，对求导，代入得到斜率，再由点斜式写出直线方程；（2）对求导，令，然后再求导得到，可得时，，所以函数在上单调递增，再根据，按和进行分类讨论，得到函数在上存在唯一零点，从而得到若函数在区间上有极值，则．

（1）当时，，，

则，，

故曲线在处的切线方程为：，即.

（2），，

令，则，

当时，，所以函数在上单调递增，

又，故

①当时，，，在上单调递增，无极值；

②当时，，，

令，则，

当时，，函数在上单调递增，，

所以在上，恒成立，

所以，

所以函数在上存在唯一零点，

所以在上单调递减，在上单调递增，此时函数存在极小值．

综上，若函数在区间上有极值，则．

故实数的取值范围为.